Algebra-dabra! – Leleplezünk egy kártyatrükköt
Csodák márpedig vannak! A matematika például csodálatos, és csodákra képes. Most bemutatjuk, hogy milyen matematikai számítások állnak egy egyszerű kártyatrükk hátterében.
Tavaly jelent meg Colm Mulcahy Mathematical Card Magic. Fifty-Two New Effects (Matematikai kártyatrükkök. Ötvenkét új trükk) című könyve, amelyben a kártyatrükkök hátterében meghúzódó matematikát magyarázza el a szerző.
Nem akarunk senkit kiábrándítani, de a bűvészmutatványok nem csodák... Ettől még persze izgalmasak, még akkor is, ha tudjuk, hogy min alapulnak a trükkök. Azt talán kevesebben tudják, hogy nem feltétlenül van szükség olyanfajta csalásra hozzájuk, mint a manipulált kártyapakli, a cinkelt lapok, a beavatott tag a közönség soraiban. Nagyon sok bűvésztrükk kőkemény matematikán alapul. Most mutatunk erre egy példát a The Guardian könyvismertetője alapján.
Az itt bemutatott trükköt ifj. William Fitch Cheney amerikai matematikus találta ki még 1951-ben. Ő „telefonos trükk”-nek nevezte, mert telefonon keresztül is meg lehet csinálni. Mulcahy a könyvében „Fitch Cheney-féle ötlapos trükk”-nek nevezi.
Ehhez a trükkhöz a bűvésznek szüksége lesz egy csinos segítőre – ez az egyik legjobb része ennek a mutatványnak. Na jó, csinosnak nem kell lennie, de segítenie mindenképpen kell, ráadásul ismernie kell a mutatvány sötét és titkos matematikáját is. Ugyanis a bűvész a trükk elején elhagyja a termet, és amíg vissza nem tér, addig az asszisztens áll az események középpontjában. No meg egy teljes pakli francia kártya.
A segítő tehát megkér valakit a közönség soraiból, hogy keverje jól meg a kártyapaklit, majd válasszon ki öt lapot. Az asszisztens elveszi a kiválasztott kártyákat, és úgy helyezi el egy asztalra őket, hogy egy lefelé van fordítva, a többi négy pedig fölfelé. A bűvész ekkor visszajön a szobába, és az izgalom a tetőfokára hág! Az a feladata, hogy találja ki, melyik lap van lefelé fordítva...
És most kapaszkodjon meg a kedves olvasó: a bűvész ráhibázik, sőt minden alkalommal ki fogja találni a lefelé fordított lapot, méghozzá teljesen pontosan! Őrült mázli vagy valami más? Döbbenet, de a dolog nem véletlen; a biztos találatok hátterében egy elég egyszerű matematikai módszer rejlik. Most pedig lerántjuk a leplet erről a trükkről!
A bűvész természetesen nem az asszisztens kézjelei vagy egyéb jelzései alapján találja ki, melyik lap maradt rejtve, hanem az információ a fölfordított négy lapban van kódolva – és természetesen ezt a rejtjelezést mindketten ismerik. (Érdemes fölfigyelni arra, hogy négy lap elegendő ahhoz, hogy kódoljuk, hogy a fennmaradó 48 lapból melyik van az asztalon!) Lássuk, hogyan lehetséges elrejteni a szükséges információkat a négy lap segítségével.
Először is, gondoljuk végig, mi is történik! Az asszisztens látja az öt kiválasztott lapot, és ő dönt arról, hogy melyik négy legyen fölfelé fordítva, és melyik lefelé. Ráadásul a fölfelé fordított kártyák sorrendjét is ő határozza meg, ő helyezi el őket az asztalon. Miszerint dönt, hogy melyik kártya legyen lefelé fordítva?
Tudjuk, hogy a francia kártyában négyféle szín van (♠, ♣, ♥, ♦). Az öt kiválasztott kártya között tehát kell lennie legalább két azonos színű lapnak. Az asszisztens tehát azt a lapot fogja lefelé fordítani, amelyiknek a színéből több is van a kiválasztott öt között. És a megegyezés szerint a felfelé fordított első kártya színe fogja jelölni a lefelé fordított lap színét. A szín kódolása tehát ennyire egyszerű! A bűvész megnézi az első felfelé fordított lapot, és tudja, hogy a lefelé fordított lap pikk, treff, kőr vagy káró. Ezzel tehát megvolnánk. Már csak azt kell kódolni a maradék három lap segítségével, hogy milyen szám/figura van a lapon.
(Forrás: Wikimedia Commons / Hashir Milhan / CC BY 2.0)
A francia kártyában 13 szám/figura van: Ász (A), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bubi (J), Dáma (Q), Király (K). Képzeljük úgy, hogy ezek egy körben rendeződnek el úgy, hogy ahogyan a számok az óra számlapján. A K után újra az A következik, majd folytatódik a sor: 2, 3, 4 és így tovább. Bármelyik kettőt is válasszuk ki a 13 lap közül, azok legfeljebb 6 kártyányi távolságra lehetnek egymástól. Ha a 3 és a 10 távolságát akarjuk megadni, akkor elkezdjük 10-től számolni a kártyákat: J, Q, K, A, 2, 3 – tehát a 6. lépésben értük el a 3-ast.
Emlékezzünk vissza, hogy amikor a lefordított kártyáról döntött az asszisztens, aszerint választott, hogy melyik színből volt legalább kettő az öt között. Az asszisztensnek akkor, amikor kiválasztotta, hogy melyiket fordítja lefelé, azt is el kellett döntenie, hogy a kisebbet vagy a nagyobbat melyiket fordítja lefelé. Itt azt a szabályt alkalmazta, hogy a legkisebb értékű figurát azt helyezi felfordítva az első helyre, amelyik után a körben hamarabb jön a másik. Így most már a bűvész azt is tudja, hogy a lefelé fordított kártya 1, 2, 3, 4, 5, vagy 6 kártyányira van az első felfordított laptól. (Hiszen, ahogy az előzőekben láthattuk, a 13-ból tetszőlegesen kiválasztott két lap maximum 6 távolságra van egymástól.) A feladat tehát most már csak annyi, hogy a fennmaradó három lap elrendezésével kódoljuk, hogy 1 és 6 között mennyi a távolság az első helyen felfordított lap és a lefelé fordított lap értéke között.
Persze előfordulhat olyan eset is, hogy két azonos értékű kártya van a három lapban. Erre az esetre a színeket is hierarchizálnunk kell, hogy egyértelmű legyen melyik a nagyobb, melyik a kisebb. Legegyszerűbb, ha a bridzsben alkalmazott színhierarchiát használjuk: legerősebb szín a pikk, majd a kőr, majd a káró, végül a treff. Ha tehát a három lap között két 4-es van, az egyik treff, a másik pikk, akkor a treff 4-es kisebb, mint a pikk 4-es.
Őrült szerencse, hogy három lapot összesen 3x2x1, azaz 6 féle sorrendbe tudunk elhelyezni! A 6 különféle elrendezés pedig kódolja az értéktávolságot 1-től 6-ig. Az asszisztensnek tehát meg kell állapítania, hogy a három közül, melyik a legnagyobb, a legkisebb értékű lap, és hogy melyik a közepes. A legnagyobbat jelöljük N-nel, a legkisebbet Ki-vel és a közepest Kö-vel; így a következő hat elrendezés képzelhető el, amelyek a következő értékeket definiálják:
KiKöN = 1; KiNKö = 2; KöKiN = 3; KöNKi = 4; NKiKö = 5; NKöKi = 6
Az asszisztensnek tehát annyi a dolga, hogy a három lapot az értékkülönbségnek felelő sorrendbe tegye le az asztalra. Ha ez megvan, akkor a bűvész már az első lap ismeretében pontosan ki tudja számolni ennek segítségével, melyik a lefelé fordított kártya.
Kész a csoda!
Forrás
Algebra-cadabra! Here's a classic magic trick, and the mathematical secret behind it
@Molnár Cecília: Aha, na most már leesett, köszi!
@gligeti: Köszönjük, javítom!
@Sultanus Constantinus: Ha kiveszel egy pakliból egy kőrt, egy kárót, egy treffet és egy pikket, és utána húzol a pakliból még egy tetszőleges lapot, az vagy kőr, vagy káró, vagy treff, vagy pikk lesz. Tehát valamelyikből biztosan kettő lesz.
"Tudjuk, hogy a francia kártyában négyféle szín van (♠, ♣, ♥, ♦). Az öt kiválasztott kártya között tehát kell lennie legalább két azonos színű lapnak."
Nem vagyok túl jó matematikus, de már itt elakadtam. Miből következik ez a két azonos színű lap ennyire biztosan? Ha teljesen véletlenszerűen választották ki, akkor ez nem törvényszerű szerintem.
nem a legkisebb értékűt kell az első helyre tenni, hanem amelyik után a körben hamarabb jön a másik. Tehát ha az egyik 2, a másik K, akkor a 2-t kell lefordítani, és a K-t kell az első helyre tenni, mert az a K-tól csak 2 lépésnyire van (K+2 = 2, mert K -> A -> 2), amit KiNKö-vel lehet kódolni. Ha a K-t fordítanánk le, és a 2-t tennénk az első helyre, akkor nem tudnánk kódolni a K-t, mert az 10 távolságra van, amit nem tudunk kódolni.